Savannah to kot o mocno zaznaczonych cechach dzikich przodków, zarówno pod względem wyglądu, jak i zachowania. Odznacza się niezwykłym temperamentem, który nie pozwala usiedzieć mu dłuższej chwili w jednym miejscu. Jest wyjątkowo żywotnym kotem, uwielbiającym spacery i wszelkie zabawy, także te w wodzie. Codziennie potrzebuje naprawdę dużej dawki uwagi, ruchu i zabawy.
Nie znosi nudy i stagnacji. Jest wręcz żądny przygód. Gdy opiekun nie dostarcza mu rozrywek, znajduje je sobie sam, co często kończy się dewastacją mieszkania. Potrafi użyć każdego przedmiot do ćwiczeń i doskonalenia sprawności łowieckich. Zachwyca skocznością znacznie przewyższającą umiejętności innych kotów.
Rasa savannah jest znacznie bardziej społeczna niż typowe koty domowe. Choć nie przepada za leniuchowaniem na kolanach, to jest to niezwykle uczuciowy kot. Silnie przywiązuje się do swojego opiekuna i jest mu wierny, co potwierdzają jego wędrówki w ślad za nim po całym mieszkaniu. Towarzyszy mu także przy różnego rodzaju pracach domowych. Najchętniej spędzałby z nim większość swojego czasu, lecz powinien to być czas aktywny! Wyznaje zasadę „jeden opiekun na całe życie” – bardzo źle znosi rozstania i przeprowadzki.
Jest niezwykle inteligentny i szybko odkrywa, jak wymknąć się z zamkniętego pomieszczenia (otwiera łapkami drzwi), czy jak dostać się do środka lodówki. Należy stosować przy nim zabezpieczenia szafek i drzwi, jak przy małych dzieciach. Nie wzgardzi niczym, co można pogryźć, podrapać i roznieść w drobny mak. Powszechnie uznawany jest za bardzo wesołego. Swoją radość okazuje wysokimi skokami (nawet na 2,5 metra) oraz energicznym bieganiem.